Медный и алюминиевый провода равной длины имеют одинаковые сопротивление. Опредилить отношение диаметров...

Чтобы решить эту задачу, нам нужно использовать несколько физических и химических свойств меди и алюминия, а также понятие электрического сопротивления.

1. Определение отношения диаметров проводов

Формула сопротивления:

Сопротивление проводника определяется формулой: [ R = \rho \frac{L}{A} ] где:

• ( R ) — сопротивление,
• ( \rho ) — удельное сопротивление материала,
• ( L ) — длина проводника,
• ( A ) — площадь поперечного сечения.

Для проводов равной длины и одинакового сопротивления, имеем: [ \rho{\text{Cu}} \frac{L}{A{\text{Cu}}} = \rho{\text{Al}} \frac{L}{A{\text{Al}}} ]

Площадь поперечного сечения круглого провода: [ A = \frac{\pi d^2}{4} ] где ( d ) — диаметр провода.

Подставим площади в уравнение: [ \rho{\text{Cu}} \frac{4L}{\pi d{\text{Cu}}^2} = \rho{\text{Al}} \frac{4L}{\pi d{\text{Al}}^2} ]

Сократим ( 4L/\pi ): [ \rho{\text{Cu}} \frac{1}{d{\text{Cu}}^2} = \rho{\text{Al}} \frac{1}{d{\text{Al}}^2} ]

Отсюда: [ \frac{d{\text{Al}}^2}{d{\text{Cu}}^2} = \frac{\rho{\text{Al}}}{\rho{\text{Cu}}} ]

Или: [ \frac{d{\text{Al}}}{d{\text{Cu}}} = \sqrt{\frac{\rho{\text{Al}}}{\rho{\text{Cu}}}} ]

Удельные сопротивления:

• Удельное сопротивление меди ((\rho_{\text{Cu}})) примерно (1.68 \times 10^{-8} \, \Omega \cdot \text{м}).
• Удельное сопротивление алюминия ((\rho_{\text{Al}})) примерно (2.82 \times 10^{-8} \, \Omega \cdot \text{м}).

Подставим в формулу: [ \frac{d{\text{Al}}}{d{\text{Cu}}} = \sqrt{\frac{2.82 \times 10^{-8}}{1.68 \times 10^{-8}}} \approx \sqrt{1.68} \approx 1.30 ]

2. Определение отношения масс проводов

Формула массы:

Масса ( m ) проводника определяется как: [ m = \rho \cdot V ] где:

• (\rho) — плотность материала,
• ( V ) — объем.

Объем цилиндра: [ V = A \cdot L = \frac{\pi d^2}{4} \cdot L ]

Плотности:

• Плотность меди ((\rho_{\text{Cu}})) составляет около (8,960 \, \text{кг/м}^3).
• Плотность алюминия ((\rho_{\text{Al}})) составляет около (2,700 \, \text{кг/м}^3).

Отношение масс: [ \frac{m{\text{Al}}}{m{\text{Cu}}} = \frac{\rho{\text{Al}} \cdot \frac{\pi d{\text{Al}}^2}{4} \cdot L}{\rho{\text{Cu}} \cdot \frac{\pi d{\text{Cu}}^2}{4} \cdot L} = \frac{\rho{\text{Al}} \cdot d{\text{Al}}^2}{\rho{\text{Cu}} \cdot d{\text{Cu}}^2} ]

Учитывая, что (\frac{d{\text{Al}}}{d{\text{Cu}}} \approx 1.30): [ \frac{m{\text{Al}}}{m{\text{Cu}}} = \frac{2,700 \cdot (1.30 \cdot d{\text{Cu}})^2}{8,960 \cdot d{\text{Cu}}^2} = \frac{2,700 \cdot 1.69 \cdot d{\text{Cu}}^2}{8,960 \cdot d{\text{Cu}}^2} ]

[ \frac{m{\text{Al}}}{m{\text{Cu}}} \approx \frac{2,700 \cdot 1.69}{8,960} \approx \frac{4,563}{8,960} \approx 0.51 ]

Таким образом, масса алюминиевого провода примерно в 1.96 раза меньше массы медного провода.

Для начала определим отношение диаметров медного и алюминиевого проводов. Сопротивление провода зависит от его сечения, которое пропорционально квадрату диаметра провода. Поскольку сопротивление у обоих проводов одинаковое, то отношение их диаметров будет равно квадратному корню из отношения удельных сопротивлений алюминия и меди.

Удельное сопротивление алюминия составляет приблизительно 0.028 Оммм²/м, а меди - 0.017 Оммм²/м. Таким образом, отношение диаметров алюминиевого и медного проводов будет равно sqrt(0.028/0.017) ≈ 1.28.

Теперь вычислим, во сколько раз масса алюминиевого провода меньше массы медного провода. Масса провода пропорциональна его объему, который, в свою очередь, пропорционален квадрату диаметра провода. Поскольку отношение диаметров равно 1.28, то отношение массы алюминиевого провода к массе медного будет равно (1/1.28)^2 ≈ 0.62.

Итак, масса алюминиевого провода около 0.62 раза меньше массы медного провода.